我对计算几何一无所知
基础知识
向量
定义：在一个\(n\)维空间中的一条有方向和长度（没有位置）的线段，记作：\[\vec{a}=\begin{bmatrix}a_1,\cdots,a_n\end{bmatrix}\]一般在计算几何中常用的是二维向量。一个n维向量的模长：\[|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\]表示这条有向线段在空间中的实际长度
向量的数量积（点积）
对于两个同维向量 \(\vec{a}=\begin{bmatrix}a_1,\cdots,a_n\end{bmatrix}\) 和 \(\vec{b}=\begin{bmatrix}b_1,\cdots,b_n\end{bmatrix}\)，定义向量数量积：\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n\]对于二维向量，数量积也可以使用模长和夹角计算：\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\times|\vec{b}|\times\cos{\theta}\]其表示一个向量在另一个向量上的投影长度乘上投影向量的长度
使用数量积，我们可以计算两个向量的最小夹角（\(\theta\in[0,\pi]\)）：\[\theta=\arccos\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\]进而我们可以按照\(\arccos\)的性质来推断两个向量的方向关系：
- \(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\)：方向基本相同，\(\theta\in[0,\frac{\pi}{2})\)
- \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)：正交（垂直），\(\theta=\frac{\pi}{2}\)
- \(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)：方向基本相反，\(\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi]\)
向量的向量积（叉积）
对于两个二维向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，她们的向量积\(\vec{a}\times\vec{b}\)方向在右手系中按照右手定则确定（伸出右手，将四指从a向b转动，大拇指方向即为叉积方向），模长即等于：\[|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\times|\vec{b}|\times\sin{\theta}\]她在数值上即等于两个向量围成的平行四边形面积。
同时，向量叉乘满足以下性质：
- \(\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}\)（夹角为零，\(\sin\theta\)即为零）
- \(\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})\)（伸出右手，转动方向相反，结果方向就相反）（反交换律）
- \(\lambda\vec{a}\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})\)（长度缩放\(\lambda\)倍，平四面积也缩放\(\lambda\)倍）
- \(\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\)（证明很复杂的谜之分配律）
未完成：
凸包的求法和性质
求点线圆的交点
半平面交的求法与性质
学习难点：
旋转卡壳
Simpson 积分
求面积并、面积